A ruptura da lógica! Lógicas não clássicas
1. INTRODUÇÃO
A discussão sobre os problemas lógicos vem tomando diferentes rumos nos últimos 80 anos. A lógica clássica, tradicionalmente bivalente, parece encontrar no início deste século alguns problemas de difícil solução, problemas estes que irão originar uma profunda crise dos fundamentos nas relações entre legitimidade lógica e legitimidade matemática.
E mais: as severas críticas, levantadas contra o conceito de implicação material, impulsionaram alguns autores a retornar os estudos de lógica modal, interrompidos após a escolástica, para o desenvolvimento da qual se vislumbram resultados interessantes.
As considerações a seguir se propõem apresentar duas das principais críticas levantadas contra os conceitos da bivalência e da implicação material e a situação em que se encontram as reflexões sobre o assunto.
2. A LÓGICA PROPOSICIONAL
Nos anos 20 deste século o referencial obrigatório para as pesquisas lógico-matemáticas era constituído por "Principia mathematica" de Russell(1). Embora tivesse recebido algumas críticas, estas todavia diziam respeito quase que exclusivamente à concreta efetivação do sistema lógico em relação ao programa defendido pelos autores da escola logicista, programa este considerado por demais ambicioso comparado com a realização apresentada na obra citada.
Contudo, além de representar um poderoso estímulo à discussão entre as várias escolas e às pesquisas neste sentido, os "Principia" ocasionaram uma outra gama de reflexão que desembocou em propostas alternativas que terão um peso não indiferente no desenvolvimento da lógica.
As pesquisas alternativas tiveram seu início com a publicação de "Survey of symbolic logic" (1918) de Lewis(2) e foram seguidas por autores americanos e pela escola polonesa. Nesta linha podemos considerar como ponto de ruptura da grande lógica de Frege e Russell a publicação de "Grundzüge der theoretischen Logik" de Hilbert e Ackermann(3), 1928.
Desde 1920 Post observava que "na teoria geral da lógica construída por Whitehead e Russell, no intuito de fornecer as bases para toda a matemática, há uma subteoria que é única em sua simplicidade e precisão, e não obstante todas as outras partes da obra se assentem sobre ela, esta é completamente independente delas"(4).
Post se retere aqui à lógica das proposições, isto é àquela parte do sistema lógico de "Principia" que diz respeito simplesmente às conexões de Inferências que se podem estabelecer, considerando como pontos iniciais proposições não analisadas (não funções proposicionais) quando estas venham a ser unidas entre si através dos novais funtores lógicos.
Os motivos que impulsionaram Post a propor as generalizações a seguir são de natureza puramente formal, segundo sua explícita admissão, de modo que as extensões de generalização que ele alcança, são simples e naturais extensões providas da estrutura mesma da teoria assim isolada, sem nenhuma preocupação por eventuais interpretações lógicas que tais resultados possam adquir.
Este posicionamento lhe dá a possibilidade de sublinhar a distinção entre linguagem da teoria que é objeto de estudo e linguagem não consegue fornecer informações detalhadas dos mundos de que fala.
Post entende esta limitação e por isso exorta os estudiosos a trabalharem sobre teorias lógicas com linguagens mais flexíveis e mais ricas.
A versão que Post dá da lógica proposicional de "Principia" é extremamente exata seja do ponto de vista axiomático quando do ponto de vista das tabelas de verdade. No primeiro caso, com apenas os conectivos de negação (~ ) e disjunçào (V), a partir das letras proposicionais, constrói todas as Outras formas de linguagem; no segundo caso dá uma versão rigorosa das tabelas de verdade de dois valores.
O sistema proposicional se caracteriza por um número finito de axiomas que são tautologias e por duas regras referência: o modus ponens e a substituição. O cálculo funciona de modo que a partir dos axiomas-tautologias – podem obter-se com as regras de dedução, outros teoremas que sejam outras tautologias.
Diz-se por isso que o sistema é válido, isto é origina apenas teoremas logicamente válidos.
Neste ponto é lícita a pergunta inversa: nosso cálculo pode nos dar a possibilidade de obter como teoremas todas as tautologias? Uma teoria que tenha esta propriedade se diz completa e Post demonstra que o sistema proposicional é completo sentido e mais, que é possível estabelecer um número finito de passos, dada qualquer fórmula é um teorema ou não. E qual se efetua o estudo da teoria: entre teoria e metateoria e no nosso caso específico entre lógico e metalógica.
A parte da lógica conhecida como lógica proposicional era estudada desde os tempos de Frege como sistema autônomo e de Boole como interpretação do próprio sistema formal. Algumas pesquisas sobre a economia dos termos fundamentais tinham levado Henry Maurice Sheffer em 1913 a reduzir a apenas um os funtores proposicionais e Jean Nicod em 1917 a um só axioma a base de postulados proposicional.
Mas isso vinha sendo interpretado como simplificação operacional interna ao sistema de Russell.
O grande mérito de Post consiste em ter isolado o sistema de lógica proposicional como uma teoria axiomática e dedutiva autônoma, em ter assumido como objeto de pesquisa único, sem outro contexto, uma teoria construída sobre uma parcela muito limitada da linguagem "universal" de "Principia" e em ter distinguido com muita clareza os níveis lingüísticos de teoria e metateoria como planos sobre os quais agir separadamente.
Apesar da linguagem proporcional ser a menor linguagem disponível, tem todavia um caráter expressivo bastante elevado: pode descrever mundos completamente diversos entre si e pode ser interpretado em uma enorme variedade de universos de discurso. Contudo ele é muito superficial no sentido que não ainda mais: o sistema considerado por ele é consistente: nele não é possível demonstrar conteporaneamente A e % A.
A primeira generalização considerada por Post diz respeito por um lado a sistemas com um número finito qualquer de funtores, por outro sistemas com um número finito de axiomas e/ou regras de inferência.
A segunda generalização diz respeito à consideração de tabelas de verdade com um número finito qualquer de valores, isto é, considerada a teoria de lógicas porporcionais com um número finito de verdade maior ou igual a 2. Intuitivamente isto significa levar em anexo, ao lado dos tradicionais valores de verdadeiro ou falso, outros valores de verdade, como por exemplo: indiferente, indeterminado, incerto, etc. São chamadas lógicas polivalentes.
Para esgotar este primeiro aspecto da questão, é conveniente considerar a divisão que Hilbert e Ackermann propõem no "Grundzüger" entre linguagem e cálculos lógicos. O critério de divisão consiste na possibilidade expressiva das linguagens em relação também ao tipo de análise que permitem fazer do conteúdo que se destinam a exprimir.
3. LINGUAGENS ENUNCIADAS E PREDICATIVAS
A primeira grande distinção se dá entre linguagem enunciativa, formada por proposições não analizadas e funtores e linguagem predicativa, formada por proposições analizadas em seus componentes subjetivo e predicativo; e além dos funtores conhecidos introduz símbolos de operadores lógicos para quantificação.
É necessário ainda no campo da linguagem predicativa frisar uma distinção quando se queira aplicar a quantificação somente às variáveis individuais (por todo indivíduo no U.D. ou há pelo menos um indivíduo no U.D.) ou se queira estender a quantificação às variáveis predicativas (por todas as propriedades de indivíduos) ou há pelo menos uma qualidade (de indivíduos) que.
Obtém-se assim a linguagem predicativa de primeira ordem: e de segunda ordem. É possível continuar nesta hierarquia; mas é extremamente raro esbarrar na necessidade de linguagens de ordem é suficiente para exprimir a maioria das teorias matemáticas.
No que diz respeito à parte simbólica, a linguagem proposicional consta de um conjunto infinito de letras proporcionais, que podem ser interpretadas com proposições e assumir valores de verdade, de conectivos lógicos e de símbolos auxiliares, como parênteses etc. Com este alfabeto é possível construir um sistema dedutivo de cálculo proposicional, definindo fórmulas, axiomas e regras de inferência.
É evidente que fórmulas são aquelas entre todas as expressões que podem ser construídas compondo os sinais do alfabeto, que podem ser consideradas sintaticamente significativas e também semanticamente interpretáveis; os axiomas são aquelas fórmulas que são escolhidos como pontos de partida do processo de demonstração.
Seguindo a aspiração de Post, Hilbert na conferência de Bolonha de 1927 pôs explicitamente o problema da completude semântica para a lógica dos predicados: - cada fórmula predicativa logicamente válida é dedutível sintaticamente no correspondente sistema formal? – e da completude sintática.
A resposta a estas perguntas chegará somente por volta dos anos 30 por conta de Kurt Godel e causará um enorme abalo ao programa hilbertiano.(5)
Outro aspecto da ruptura se dá com as lógicas não clássicas. Se por um lado, Lewis defende que a linguagem de "Principia" seja pobre demais para expressar as conexões de inferência; particularmente o conectivo de implicação material não satisfaz plenamente à relação de dedutibilidade: são necessários funtores mais potentes. Por outro lado o conceito clássico de verdade, tradicionalmente bivalente, é por demais rígido, para traduzir toda a série de situações reais: os funtores necessitam de interpretações diferentes.
4. A LÓGICA MODAL
O primeiro sistema de lógica modal foi apresentado por Lewis em 1918 e posteriormente em forma definitiva em 32 com a colaboração de Cooper H. Langford em "Symbolic Logic".(6)
É oportuno frisar que este aspecto da lógica, que é um dos traços mais característicos das pesquisas dos últimos anos, não é um fenômeno típico e original do período aqui considerado, mais retoma, após uma interrupção de séculos, uma tradição profundamente radicada na lógica antiga e medieval. Antes do início da era moderna, os lógicos tinham plena convicção de que as noções modais: necessário, possível, contingente, impossível, tinham pleno direito de cidadania no âmbito da lógica.
O primeiro tratamento sistemático das modalidades se acha no "Organon" de Aristóteles ao lado das proposições categóricas. Todavia é oportuno observar que à obra do Estagirista, apesar de ter desenvolvido uma teoria bastante avançada do silogismo modal, falta uma rigorosa e unívoca definição das noções modais fundamentais. De fato nos "Analíticos" parece entender "possível" como "o que não é necessariamente falso nem necessariamente verdadeiro"; enquanto em "De Interpretatione" acha que "possível" é "o que não é necessariamente falso". Esta acepção foi seguida por Teofrasto, seu sucessor na direção do Liceu. A partir de Teofrasto e em toda a lógica sucessiva, as relações de modalidade se podem exprimir num quadrado de oposições assim construido:
Necessário (&127; p)
Possível (à p)
Impossível (~à p)
Contingente (~&127; p)
e através das definições: &127; p = ~ à ~ p e à = ~ &127; ~
Mas a própria correta leitura dos enunciados modais apresenta problemas. Usando a terminologia dos lógicos medievais, as modalidades se podem entender como "de dicto" ou "sensu composito" ou ainda "de re" ou "sensu diviso". No primeiro caso a modalidade é entendida como um atributo de um enunciado: ex. que a manga esteja madura é possível. No segundo caso é entendida como modo de predicar uma qualidade a um sujeito: ex. a manga é possível estar madura.
Segundo Bochenki, Aristóteles entende as modalidades como modos in re.
As relações entre os dois tipos de modalidade não eram objeto de discussão na antiguidade e nem na idade média, quando era mais acentuada a distinção entre proposições modais e proposições de "inesse" isto é categóricas.
Análises interessantes se encontram em Pedro Hispano e Abelardo e no "De Modalibus porpositionibus" atribuído a S. Tomás. A lógica árabe da idade média também se interessou pelo assunto embora com algumas divergências devido à herança adquirida dos megáricos e estóicos, em especial maneira do fatalismo. Esta tradição se interrompe na idade moderna. As modalidades passam da área da lógica para a filosofia: os modos de predicação não mais dizem respeito aos enunciados e sim aos juízos, isto é, aos atos mentais expressos nas proposições. O exemplo mais característico de entender assim as modalidades se encontra na "Analítica transcendental" de Kant onde elas aparecem como categorias do intelecto deduzidas da tabela dos juízes. Mas o fato mais interessante e curioso do ponto de vista histórico é que a lógica formal do séc. XIX e os mesmos "Principia Mathemática" nascem e desenvolvem ignorando completamente os modos e sua possível inclusão no capítulo da lógica.
E mais surpreendente resulta o fato, levando em conta que não faltavam os instrumentos para a formulação de uma lógica das modalidades: Lembremos a álgebra das classes de Boole e depois de Schroder.
O renascimento da lógica modal contemporânea se pode creditar a Lewis com a obra "Survey" e "Symbolic Logic". O ponto central da crítica não é tanto o dogma da bivalência quanto a implicação material de Russell. Ele se propõe a desenvolver um cálculo proposicional que ao se restrinja a relações materiais mas baseado numa relação de implicação que não tenha estas qualidades peculiares. As qualidades peculiares de que fala Lewis são os paradoxos da implicação material que resultam diretamente de sua definição e podem expressar-se como uma proposição verdadeira é implicada por qualquer proposição, ou que uma proposição falsa implica qualquer proposição, ou ainda de dois quaisquer enunciados, um implica sempre o outro ou vice-versa. E mas, se definimos com Lewis que: p é consistente com q, como: p não implica a falsidade de q, e: q é independente de p, como: p não implica q, então no esquema da implicação material dois ou um número finito de proposições (particularemente: um sistema de axiomas para o cálculo proposicional) não podem ser contemporaneamente consistentes e independentes.
Segundo Lewis isto resulta do fato de haver limitado o estufo da lógica ao momento extensional, descuidando das relação internacionais (de conteúdo) entre as proposições, de modo que será oportuno que a lógica das proposições se desenvolva em maneira que inclua o significado mais comum de "implica", isto é intensional. Lewis deseja então construir um cálculo baseado sobre o significado de "implica" tal que "pÕ q" signifique "q se deduz de p". Ora, para ele q se deduz de p não quando pÕ q é verdadeira mas quando é necessariamente verdadeira, isto é quando é uma tautologia do sistema ou ainda quando é impossível que seja falsa. Portanto o sistema de dedução de Lewis se propõe ser um sistema de modalidades lógicas. Em lugar da implicação material, aparece a relação de dedutibilidade, representada pelo símbolo - p e que pode definir-se: p - p q = ~ à (p ^ ~ q) ou &127; (p Õ q), lembrando que à indica "possível" e &127; "necessário".
Lewis chega a formular 5 sistemas onde resumir os princípios da inferência dedutiva. Identificando como S1 o sistema base onde se acham codificados os primeiros princípios, os outros se apresentam como obtidos do sistema original mediante ulterior explicitação de propriedades da relação de implicação.
O significado semântico não é muito intuitivo e portanto a exigência de axiomas outros para a independência dos sistemas é fruto, mais de análise de caráter experimental dos sistemas é fruto, mais de análise de caráter experimental do que considerações semânticas do sistema.
5. AS LÓGICAS POLIVALENTES
Da lógica modal toma impulso a pesquisa sobre as lógicas polivalentes de Jan Lukasiewicz. A primeira brevíssima aparição foi em 1920: uma só página sobre a lógica trivalente. Inicia da consideração das proposições modais "É possível que p", "não é possível que p", "é possível que não p" e "não é possível que não p" e nota que três proposições modais derivadas diretamente dos princípios clássicos da modalidade, se bastante plausíveis de um ponto de vista intuitivo, podem conduzir a resultados estranhos ou até a contradições se interpretadas classicamente:
~ p Õ ~ à p
Os teoremas 2 e 3 podem trazer conseqüências desagradáveis: ex. do 2: Se é possível p, então p (se é possível que o avião caia, então cai): do 3 podemos derivar resultados como estes: "é possível que 3 seja número primo" e "é possível que 3 não seja número primo"!
Segundo Lukasiewicz estas leis conduzem a contradições somente se interpretadas num sistema de lógica clássica bivalente, onde uma proposição pode ter apenas os valores de verdadeiro ou falso.
Introduz então uma lógica trivalente e baseado sobre a definição do seu discípulo Tarski à p = ~ p Õ p, consegue demonstrar que todos os tradicionais teoremas da lógica proposicional modal podem ser estabelecidos sem contradições no cálculo proposicional trivalente.
Nesta maneira porém, à diferença de Lewis e de seus 5 sistemas, a lógica modal se apresenta como um subsistema daquela clássica e ano como sua generalização. Lukasiewicz dá assim uma análise semântica exata da noção de sistema modal, mas renunciando a dar uma resposta satisfatória ao problema da caracterização geral da noção de inferência dedutiva.
Somente em 1959 a lógica modal conseguirá, através de uma conveniente semântica, a desvencilhar-se das limitações que a lógica polivalente lhe impunha.
É necessário considerar todavia que a perspetiva na qual se põe Lukasiewicz é extremamente ampla, ligada que está ao problema do determinismo e do livre arbítrio. A construção destas novas lógicas polivalentes parece oferecer-lhe uma solução para aquela forma de obrigatoriedade racional a que se acha submetida a ciência fundada sobre a lógica aristotélica. "Esta nova lógica" ele afirma "introduzindo o conceito de possibilidade objetiva, destrói o velho conceito de ciência baseada sobre a necessidade. Os fenômenos possíveis não têm causas, pelo fato deles mesmos poderem ser o início de uma cadeia causal. O ato de um indivíduo criativo pode ser livre e ao mesmo tempo influenciar o curso do mundo. A possibilidade de construir sistemas lógicos diferentes demonstra que a lógica não se restringe à reprodução de fatos mas é um produto livre do homem como uma obra de arte. A coerção lógica se dissolve no seu nascer"(7).
A partir de Lukasiewicz toda uma pletora de lógicos dedica suas pesquisas à sistematização das lógicas polivalentes entre 1920 e 1930. Entre estes é dever nomear A. Lindenbaum, A. Tarski, M. Wajsberg.
Os resultados foram apresentados em 1930 num famoso artigo, sendo autores Tarski e Lukasiewicz, com o título "Untersuchungen uber den Aussagenkalkul". Ali são tratadas lógicas Ln com um número finito qualquer ou infinito numerável de valores, (sendo n número natural qualquer), apresentando fórmulas gerais para tabelas de verdade de funtores implicativos e negativos.
Mas para lá dos resultados relativos às lógicas polivalentes e característica importante do artigo é a formulação do tipo metamatemático e metalógico que reflete o rumo das pesquisas da renomada escola polonesa, orientada para o estudo global da mais simples disciplina dedutiva: o cálculo proposicional.
Esta tendência à consideração metamatemática das teorias nasce por motivos filosóficos precisos mas rapidamente deságua numa consideração bem mais ampla, isto é, na constituição de uma metaciência generalizada, não mais limitada à lógica proporcional; e com o maciço emprego de conjuntos infinitos, este endereço encontrará nos anos 30 seu natural estuário na sistematização da semântica tarskiana e nos anos 50 na teoria dos modelos.
6. NOTAS BIBLIOGRÁFICAS
(1) Escritos com a colaboração de Whitehead, foram publicados
entre 1910 e 1913 pela University Press-Cambridge. Originalmente concebidos em 4 volumes,
apenas 3 foram editados. O quarto volume devia ser dedicado à geometria, mas nunca foi
escrito.
(2) A obra, após umas 80 páginas introdutórias, está dividida em 6
partes: 1ª Lógica matemática; 2ª Prolegômena à aritmética
cardeal; 3ª Aritmética cardeal; 4ª Aritmética das relações; 5ª
Série; 6ª Quantidade.
(3) LEWIS, C. Survey of symbolic Logic. New York, 1918.
(4) HILBERT Y ACKERMANN. Lógica. Teórica. Buenos Aires, Tecnos, 1068.
(5) citado por MANGIONE, C. La lógica nel ventisimo secolo in:
Geymonat. L. Storia del pensidero filosófico e scientífico. Milano, Garzant, 1972. Pag.
532.
(6) LADRIERE, J. Les limitatons internes das formalismes. Etude sur la
signification du théoreme de godel et des théoremes apparentés. Louvain, 1957.
(7) LEWIS, C. Simbolic Logic. New York, 1932.
(8) Vide nota 4. Ibidem idem idem 544.